Colloque de Géométrie

A central theme in Kähler geometry is the search for canonical Kähler metrics, such as Kähler-Einstein metrics, constant scalar curvature Kähler metrics, extremal metrics, etc… The Mabuchi functional M was introduced by Mabuchi in the 80's in relation to the existence of such canonical metrics on a compact Kähler manifold. The critical points of M are indeed the special metrics we look for. Since then, the properties of the Mabuchi functional (such as convexity, properness) have been intensively studied. In this talk I will give a panorama on the state of the art and on the recent breakthroughs in the field.

In this talk, I will present the meeting of different dynamical systems: tiling billiards, the wind-tree model and the Eaton lenses. The three of them are motivated by physics.
In the beginning of the 2000's, physicists have conceived metamaterials with negative index of refraction. Tilling billiards' trajectories consist of light rays moving in a arrangement of metamaterials with opposite index of refraction. The wind-tree model was introduced by Paul and Tatyana Ehrenfest to study a gaz: a particle is moving in a plane where obstacles are periodically placed, on which the particle bounces. The Eaton lenses are a periodic array of lenses in the plane, in which we consider a light ray that is reflected each time it crosses a lens.
After having introduced these dynamical systems, I will consider a mix of them: an arrangement of rectangles in the plane, like in the wind-tree model, but made of metamaterials, like for tiling billiards. I study the trajectories of light in this plane. They are refracted each time they cross a rectangle. I show that these trajectories are trapped in a strip, for almost every parameter. This behavior is similar to the one of the Eaton lenses.

We know from systolic geometry that on a compact Riemannian manifold a lot of geometric information is contained in the length of the shortest non-homologically trivial closed curve. Naturally, even more geometric information can be extracted from the data of the shortest curve with prescribed homology class, for each homology class. This data is called the stable norm: it is a norm on the first homology group of the manifold that extends the notion of length to homology classes. Unfortunately, the stable norm is very difficult to compute in practice, and there are extremely few known explicit examples.
In this talk I will explain how we can explicitly compute the stable norm of a family of flat surfaces. The core argument is the computation of the stable norm of flat slit tori. Surprisingly, the stable norm of slit tori is linked to the Farey sequence, a number sequence famous for its remarkable arithmetical properties. In a second part, I will show how we can glue together several slit tori and flat cylinders to construct half-translation surfaces on which the stable norm is known. Finally, I will discuss a curve-counting problem related to the stable norm. More precisely I will show that, contrary to all the previously known examples, on the previous surfaces the growth of the number of homology classes whose stable norm is realized by the length of a simple curve (aka simple homology classes) is sub-quadratic.

Thanks to the work of many mathematicians, we have now a good understanding of Gromov-Hausdorff limits of manifolds with a uniform bound on the Ricci curvature. However, this assumption may be too strong in some geometric situations. In this talk, I explain how in a joint work with G. Carron (Nantes) and D. Tewodrose (Bruxelles) we obtained regularity results for limit space with a much weaker curvature assumption.

Soit (M,g) une variété complète à courbure négative. On s'intéressera dans cet exposé à compter les lacets géodésiques qui reviennent en un point fixé en un temps au plus T, ainsi que les géodésiques fermées de longueur au plus T qui intersectent un compact fixé. Nous présenterons quelques résultats historiques et des progrès récents. En courbure constante ces questions sont fortement reliées à la géométrie du Laplacien, tandis qu'en courbure variable les principales perspectives actuelles reposent sur l'étude de la vitesse de mélange du flot géodésique pour des mesures bien choisies.

The Cremona group is the group of birational transformations (isomorphisms between open dense subsets) of the projective space. Even if this group comes from algebraic geometry, tools from geometric group theory have been powerful to study this group.
After introducing this group and CAT(0) cube complexes, we will build a natural action of the Cremona group on these complexes. We will then discuss about the results that can be obtained from this action.

In the late 60s, Vinberg introduced his notion of quasi-arithmeticity, a weakening of the notion of arithmeticity for lattices in semisimple Lie groups. It follows from the superrigidity theorems of Margulis and Gromov–Schoen, and from work of Esnault–Groechenig, that the existence of quasi-arithmetic lattices that are not in fact arithmetic is essentially a real hyperbolic phenomenon. I will explain how quasi-arithmeticity arises naturally in the study of arithmetic (real) hyperbolic manifolds themselves, and is indeed a useful tool for distinguishing commensurability classes of non-(quasi-)arithmetic hyperbolic manifolds. Time permitting, I will also discuss some open questions

Dans cet exposé nous étudierons les groupes de difféotopies asymptomatiquement rigides associés à des surfaces planaires perforées infinies obtenues à partir d’arbres. Dans un article de 2022, Genevois, Lonjou et Urech ont exploré ces groupes à l’aide de complexes cubiques. Nous déterminerons sous quelles conditions ces complexes cubiques sont CAT(0). À partir de cette analyse, nous développerons une famille de complexes cubiques CAT(0) sur lesquels les groupes de classes de difféotopies asymptotiquement rigides agissent.

Asymptotic growth of the number of curves with bounded length on hyperbolic surfaces has been thoroughly studied and is still an active area of research. Starting from Huber’s Prime Geodesic Theorem, to Mirzakhani’s counting of closed curves of a given type, arriving at Erlandsson-Souto’s generalization to homogeneous functions on geodesic currents, passing through other work with e.g. Parlier and McShane-Rivin among many others. We study the combinatorial version of the problem, changing hyperbolic length for word-length. This will still have consequences on hyperbolic surfaces and will allow us to not just study the asymptotics, but the exact counting for any given length. We classify closed curves on a once-punctured torus with a single self-intersection from a combinatorial perspective. We determine the number of closed curves with given word-length and with zero, one, and arbitrary self-intersections.

Generalized rotation sets were introduced by Guihéneuf and Militon. While the classical rotation set does not capture the sublinear diffusion of orbits, such growth can be captured by the generalized rotation set. By using the approximation by conjugation method of Anosov and Katok, one can show that generically, the generalized rotation sets in the Anosov-Katok class of the 2-torus are very rich. On the other hand, these diffeomorphisms provide us with parabolic and non-proper isometries of the fine curve graph of the torus, which lead to natural questions about the geometric description of their associated fixed point at the boundary of the fine curve graph.

Dans les années 60, L. Green a montré que le rayon d’injectivité d’une variété à courbure scalaire supérieure à n(n-1) est majoré par π, avec égalité uniquement pour la sphère standard. Une question naturelle est alors de se demander si une variété à courbure scalaire supérieure à n(n-1) et rayon d’injectivité presque égal à π ressemble à la sphère. Je montrerais qu’en dimension 3, si une variété à courbure scalaire plus grande que n(n-1) a un rayon d’injectivité supérieur à 2π/3 alors c’est un quotient de S^3 par un groupe cyclique de cardinal impair. La preuve utilise surfaces minimales et mu-bulles. En dimension supérieures, ces méthodes s’appliquent pour donner de meilleures bornes sur le rayon d’injectivité des métriques à courbure scalaire positive sur S^2xT^kxR^l avec l≤2 et 2+k+l≤7.

A surface is of infinite type if its fundamental group is not finitely generated. In this presentation, we will be interested in the mapping class group of such a surface and its dynamic of continuous action on compacta. As a closed subgroup of index 2 in the automorphism group of the curve graph, this mapping class group is a non-archimedean Polish group. Using the techniques coming from the model theory, we can show that this group is never extremely amenable.

I will present a paper jointly written with Thomas Schick, which contributes to the classification of positive scalar curvature metrics up to bordism and up to concordance. Let M be a closed spin manifold of dimension greater or equal to 5 which admits a metric with positive scalar curvature. We give lower bounds on the rank of the group of psc metrics over M up to bordism in terms of the corank of the canonical map KO_*(M) to KO_*(BG), provided the rational analytic Novikov conjecture is true for G, the fundamental group of G.
Since it is a long talk I’ll take the time of introducing basic objects and techniques for those who are not familiar with the subject.

En 1993, Ara Basmajian introduit l'orthospectre des longueurs ainsi que certaines de ses propriétés. Dans le cas des surfaces hyperboliques à bord totalementgéodésique, Hidetoshi Masai et Greg Mcshane apportent de premiers résultats en 2023 sur la rigidité de l'orthospectre. Après une présentation des orthogéodésiques, de l'orthospectre et des résultats énoncés plus tôt, nous nous intéresserons au cas de l'orthospectresimple et verrons comment trouver un résultat similaire à celui de Masai et Mcshane à l'aide de relations de géométrie hyperbolique.

Une variété est dite PSC si elle admet une métrique riemannienne complète à courbure scalaire positive. Vers la fin des années 1970,des résultats de Schoen et Yau reposant sur la théorie des surfaces minimales et, en parallèle, des méthodes basées sur la théorie de l’indice développées par Gromov et Lawson, ont permis de classifier les 3-variétés fermées PSC : ce sont exactement cellesqui se décomposent en sommes connexes des variétés sphériques et de produits S²xS¹.Dans cet exposé, je présenterai un résultat de décomposition des 3-variétés PSC non compactes (travail en collaboration avec F. Balacheff et S. Sabourau) : si sa courbure scalaire décroit assez lentement, alors la variété se décompose en somme connexe (possiblement infinie) de variétés sphériques et S²xS¹. Ce résultat fait suite àdes travaux récents de Wang.

Les noeuds sont des objets discrets et concrets donc on a envie de faire des statistiques dessus. Mais comme ils sont en nombre infini, il faut les répartir en classes finies de plus en plus grandes (indexées par un entier n), faire des statistiquessur chaque classe et puis faire tendre n vers l'infini. Et choisir des classes différentes peut donner des résultats différents.Je rappellerai ce que sont les tresses, leurs liens avec les noeuds et j'expliquerai comment elles peuvent nous servir comme modèle pour faire des estimées statistiques sur l'invariant de Casson des noeuds (dont j'expliquerai la définition).

Nous commencerons par rappeler quelques inégalités optimales classiques pour les hypersurfaces de l'espace euclidien dont le cas limite a lieu uniquement pour les sphères géodésiques (comme la majoration de Reilly de la première valeur propre du laplacien par exemple). Après avoir remarqué que ces inégalités découlent toute d'une minoration de la norme L^2 du vecteur position, nous donnerons un résultat de stabilité pour cette minoration. Nous en déduirons des résultats de proximité avec les sphères géodésiques pour les autres inégalités optimales déjà mentionnées et si le temps le permet, nous donnerons quelques applications géométriques.

Nous discuterons du problème de minoration de l'aire d'une surface dont les longueurs des lacets non-contractiles est uniformément minorée (disons par 1). Nous nous intéresserons plus précisément au cas des surfaces à courbure négative et présenterons à l'aide de techniques élémentaires un résultat de structure pour les métriques extrémales permettant de se ramener à un problème de minimisation en dimension finie. Le but est de faire passer les idées essentielles à l'aide de dessins. Travail en commun avec M. Katz.

En recollant les côtés opposés d'un carré on obtient un tore muni d'une métrique plate héritée de la métrique euclidienne du plan. De la même façon, on peut créer des surfaces de genre plus grand en recollant des côtés parallèles de plusieurs carrés. Ces "surfaces à petits carreaux" sont naturellement munies d'une métrique plate à singularités coniques. Dans cet exposés je présenterai des résultats récents et des conjectures sur la géométrie de ces surfaces (et de familles plus générales de surfaces plates) en grand genre (travail en collaboration avec V. Delecroix, P. Zograf et A. Zorich). J'expliquerai également comment on peut interpréter ces résultats en terme de courbes fermées sur les surfaces, et en termes de méandres.

L'intersection (transverse) d'une surface plongée de façon lisse dans R⁴ avec un hyperplan R³ est une courbe de dimension 1. Quel type de courbe peut-on obtenir par cette construction? Etant donné une courbe, peut-on la réaliser comme "tranche" de n'importe quelle surface? Ces questions sont reliées a la concordance des noeuds et des entrelacs. Dans cet exposé, je présenterai un bref historique et expliquerai comment utiliser l'arithmétique des formes bilinéaires pour construire des obstructions. Travail en commun avec S. Orevkov.

Les variétés de Vaisman forment une classe spéciale des variétés localement conformément kähleriennes. Elles ont un feuilletage holomorphe distingué qui est transversalement kählerien. De ce fait, ce feuilletage joue un rôle important pour leur géométrie, de sorte que beaucoup de propriétés de la géométrie kählerienne ont des analogues naturels pour les variétés de Vaisman. Dans cet exposé, je vais d'abord faire une introduction à la géométrie de Vaisman. Dans la deuxième partie, j'expliquerai quel est l'analogue naturel des métriques d'Einstein dans ce contexte, quand est-ce que de telles métriques existent et différentes conséquences de leur existence.

Hypoellipticity, namely the existence of smooth solutions of (linear) PDEs, is very hard to detect. In 1979, Helffer and Nourrigat proposed a quite computable criterion, which uses certain representations. In this talk, we will show how foliation theory explains this criterion. This viewpoint, in particular the associated foliation algebra, is the key to proving the Helffer-Nourrigat conjecture, which we achieved recently together with Omar Mohsen and Robert Yuncken.

Si X est une variété riemannienne compacte, le laplacien hypoelliptique est une famille d'opérateurs agissant sur l'espace total du fibré cotangent de X, qui interpole entre le laplacien et le générateur du flot géodésique. La contrepartie dynamique de cette déformation est une interpolation entre le mouvement Brownien et le flot géodésique.
Sur les espaces localement symétriques, la déformation hypoelliptique est essentiellement isospectrale. Elle permet d'obtenir des formules explicites à la Selberg en dimension arbitraire.
Dans l'exposé, on expliquera la construction du laplacien hypoelliptique en théorie de de Rham, ainsi que ses applications à la formule des traces de Selberg.

Many interesting geometric objects are characterised as minimisers or critical points of a natural quantity and in this talk we will discuss harmonic maps from surfaces into Riemannian manifolds, i.e. critical points of the Dirichlet energy and consider two basic questions that arise for many variational problems:
On the one hand we ask whether knowing that the energy of a map is close to the minimal possible energy guarantees that the map is close to a minimiser.
On the other hand, if we consider more general critical points, then we may also ask whether knowing that the gradient of the energy is small guarantees that the map is close to a critical point and what this can tell us about the energy level of critical points.
In practice it is important to understand these questions not only at a qualitative, but also at a quantitative level, and we present new results on these questions for (almost) harmonic maps with small energy into analytic manifolds.

Gromov a introduit la notion d'espaces tangents d'espaces métriques. Pour les variétés riemanniennes, cela coïncide avec la notion classique d'espaces tangents. En 1996, Bellaiche a calculé l'espace tangent d'une variété sous-riemannienne. Dans cet exposé, je présenterai notre travail où nous montrons que contrairement à l'intuition que nous avons de la géométrie riemannienne, l'espace tangent en géométrie sous-riemannienne n'est pas unique et il y a généralement beaucoup plus d'espaces tangents que celui trouvé par Bellaiche. Nous allons tous les calculer.

On s'intéresse à l'étude du comportement des invariants géométriques des variétés hyperboliques tridimensionnelles, tels que la longueur de leurs géodésiques. Un façon de le faire est de considérer des variétés aléatoires. C'est à dire, on considère un ensemble de variétés hyperboliques, on y met une mesure de probabilité, et donc on peut se demander des questions de la forme: quelle est la probabilité qu'une variété aléatoire ait une certaine propriété ? Il existe plusieurs modèles de construction de variétés aléatoires. Dans cet exposé, j'expliquerai un des principaux modèles probabilistes pour la dimension 3, et je discuterai le spectre de longueurs - l'ensemble des longueurs des géodésiques fermés- de ces variétés.

L'intersection (transverse) d'une surface plongée de façon lisse dans R^4 avec un hyperplan R^3 est une courbe de dimension 1. Quel type de courbe peut-on obtenir par cette construction? Etant donné une courbe, peut-on la réaliser comme "tranche" de n'importe quelle surface? Ces questions sont reliées a la concordance des noeuds et des entrelacs. Dans cet exposé, je présenterai un bref historique et expliquerai comment utiliser l'arithmétique des formes bilinéaires pour construire des obstructions. Travail en commun avec S.Orevkov.

Un espace métrique X est dit delta-médian si il existe une constante delta positive et telle que 3 points de l’espace X sont toujours les sommets d’un triangle uniformément fin. J’expliquerai pourquoi cette notion, qui inclut à la fois les espaces hyperboliques et les complexes cubiques CAT(0), est très naturelle, et donnerai des exemples et non-exemples. Je passerai en revue les propriétés et les questions sur les groupes de type fini qui agissent de manière géométrique (c’est à dire par isométries, proprement et cocompactement) sur un espace delta-médian.

Récemment Bowden, Hensel et Webb ont défini le graphe fin des courbes, sur les surfaces topologiques. C'est un graphe hyperbolique au sens de Gromov, sur lequel le groupe des homéomorphismes de la surface agit par isométries. Long, Margalit, Pham, Verberne et Yao ont montré, dans le cas des surfaces compactes de genre au moins 2, que le groupe d'isométrie de ce graphe est exactement le groupe des homéomorphismes de la surface. J'exposerai un travail en commun avec Frédéric Le Roux, dans lequel nous généralisons ce résultat au cas des surfaces de genre au moins 1, compactes ou non, orientables ou non, et nous discutons d'un analogue lisse de ce graphe des courbes.

En 1939, Kurt Mahler a conjecturé une inégalité en géométrie entre volume d’un corps convexe et volume de son dual. Cette conjecture, pourtant simple à énoncer, demeure ouverte en dimension strictement plus grande que 3. Dans cette exposé, nous présenterons cette conjecture ainsi qu'un panorama actuel sur le sujet, incluant plusieurs travaux mettant en lien cette conjecture avec d’autres domaines comme la géométrie symplectique ou encore la géométrie métrique.

The talk aims to give an overview of isoperimetric inequalities for the Steklov eigenvalues on a surface with boundary. The Steklov problem describes a vibrating free drum with its mass concentrated along the boundary. Its eigenvalue parameter appears in the boundary condition. We discuss how (possibly hidden) symmetries of the underlying domain can lead to an improvement of classical inequalities for Steklov eigenvalues; in particular, when one considers the interplay between mixed Steklov eigenvalues.

Sur une surface hyperbolique, une gédésique fermée est dite simple si elle ne s'intersecte pas, et une multi-géodésique est une union disjointe des géodésiques fermées simples. Dans cet exposé, j'expliquerai comment tirer une multi-géodésique au hasard, et tenterai de répondre à la question suivante : à quoi ressemble-t-elle une multi-géodésique aléatoire sur une surface hyperbolique de grand genre ? On verra qu'elle ressemble à une permutation aléatoire, et en particulier, sur une surface hyperbolique de genre très grand, les longueurs moyennes des trois composantes les plus longues d'une multi-géodésique aléatoire sont approximativement 75,8%, 17,1%, et 4,9%, respectivement, de la longueur totale. Il s'agit d'un travail en commun avec Vincent Delecroix.